\chapter{欧拉(1729)对Beta函数的推导研究验证}
欧拉(1729)对Beta函数的推导研究，验证每一步。写成tex格式文件

	\section{引言}
	
	莱昂哈德·欧拉在1729年研究Gamma函数时首次发现了Beta函数的积分表示。本文详细验证欧拉的原始推导过程，展示从基本定义到对称性质的完整证明。
	
	\section{定义与初步性质}
	
	首先定义Beta函数为以下积分形式：
	
	\begin{equation}
		B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt \quad (x,y > 0)
	\end{equation}
	
	欧拉通过以下步骤建立了与Gamma函数的关系：
	
	\section{推导过程}
	
	\subsection{步骤1：变量替换}
	
	令 $ t = \sin^2\theta $，则 $ dt = 2\sin\theta\cos\theta d\theta $：
	
	\begin{align*}
		B(x,y) &= \int_0^{\pi/2} (\sin^2\theta)^{x-1} (\cos^2\theta)^{y-1} \cdot 2\sin\theta\cos\theta d\theta \\
		&= 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2x-1}\theta \cos^{2y-1}\theta d\theta
	\end{align*}
	
	\subsection{步骤2：与Gamma函数关联}
	
	欧拉注意到Gamma函数的积分表示：
	
	\begin{equation}
		\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt
	\end{equation}
	
	考虑乘积 $\Gamma(x)\Gamma(y)$ ：
	
		\begin{equation}
			\Gamma(x)\Gamma(y) = \left( \int_0^\infty u^{x-1} e^{-u} du \right) \left( \int_0^\infty v^{y-1} e^{-v} dv \right)
		\end{equation}
		
		\subsection{步骤1：合并为二重积分}
		将两个独立积分合并为$\mathbb{R}^2_+$上的二重积分：
		\begin{equation}
			\Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty \int_0^\infty u^{x-1} v^{y-1} e^{-(u+v)} du dv
		\end{equation}
		
		\subsection{步骤2：变量代换}
		转换为极坐标：
		\begin{align}
			u &= r^2 \cos^2\theta \\
			v &= r^2 \sin^2\theta
		\end{equation}
		其中$r \in (0,\infty)$，$\theta \in (0,\pi/2)$。对应的微分关系为：
		\begin{align}
			du &= 2r \cos^2\theta dr - 2r^2 \cos\theta \sin\theta d\theta \\
			dv &= 2r \sin^2\theta dr + 2r^2 \sin\theta \cos\theta d\theta
		\end{align}
		
		\subsection{步骤3：雅可比行列式计算}
		更高效的方法是计算变换的雅可比矩阵：
		\[
		J = \begin{pmatrix}
			\frac{\partial u}{\partial r} & \frac{\partial u}{\partial \theta} \\
			\frac{\partial v}{\partial r} & \frac{\partial v}{\partial \theta}
		\end{pmatrix}
		= \begin{pmatrix}
			2r\cos^2\theta & -2r^2\cos\theta\sin\theta \\
			2r\sin^2\theta & 2r^2\sin\theta\cos\theta
		\end{pmatrix}
		\]
		行列式为：
		\begin{align*}
			\det J &= (2r\cos^2\theta)(2r^2\sin\theta\cos\theta) - (-2r^2\cos\theta\sin\theta)(2r\sin^2\theta) \\
			&= 4r^3\cos^3\theta\sin\theta + 4r^3\cos\theta\sin^3\theta \\
			&= 4r^3\cos\theta\sin\theta (\cos^2\theta + \sin^2\theta) \\
			&= 4r^3\cos\theta\sin\theta
		\end{align*}
		
		因此体积元变换为：
		\[
		du dv = |\det J| dr d\theta = 4r^3|\cos\theta\sin\theta| dr d\theta
		\]
		
		\subsection{步骤4：被积函数转换}
		原被积函数转换为：
		\[
		u^{x-1} v^{y-1} e^{-(u+v)} = (r^2\cos^2\theta)^{x-1} (r^2\sin^2\theta)^{y-1} e^{-r^2}
		\]
		展开后得到：
		\[
		r^{2(x+y-1)} \cos^{2x-2}\theta \sin^{2y-2}\theta e^{-r^2}
		\]
		
		\subsection{步骤5：组合所有项}
		将变换后的元素组合：
		\begin{align*}
			\Gamma(x)\Gamma(y) &= \int_0^{\pi/2} \int_0^\infty r^{2(x+y-1)} \cos^{2x-2}\theta \sin^{2y-2}\theta e^{-r^2} \cdot 4r^3\cos\theta\sin\theta dr d\theta \\
			&= 4 \int_0^{\pi/2} \int_0^\infty r^{2(x+y)-1} e^{-r^2} \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1}\theta dr d\theta
		\end{align*}
		
		\subsection{步骤6：分离变量}
		积分可分离为径向和角度部分：
		\[
		4 \left( \int_0^\infty r^{2(x+y)-1} e^{-r^2} dr \right) \left( \int_0^{\pi/2} \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1}\theta d\theta \right)
		\]
		
		\subsection{步骤7：径向积分计算}
		令$s = r^2$，则$dr = ds/(2r)$：
		\begin{align*}
			\int_0^\infty r^{2(x+y)-1} e^{-r^2} dr &= \frac{1}{2} \int_0^\infty (s)^{x+y-1} e^{-s} ds \\
			&= \frac{1}{2} \Gamma(x+y)
		\end{align*}
		
		\subsection{步骤8：角度积分与Beta函数}
		角度部分正是Beta函数的三角函数表示：
		\[
		2 \int_0^{\pi/2} \cos^{2x-1}\theta \sin^{2y-1}\theta d\theta = B(x,y)
		\]
		
		\subsection{最终关系}
		组合所有结果得到：
		\[
		\Gamma(x)\Gamma(y) = 4 \cdot \frac{1}{2} \Gamma(x+y) \cdot \frac{1}{2} B(x,y) = \Gamma(x+y) B(x,y)
		\]
		即：
		\[
		B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
		\]
		
	
\subsection{步骤3：对称性验证}

通过定义(1)进行变量替换 $ u = 1-t $：

\begin{align*}
	B(x,y) &= \int_0^1 (1-u)^{x-1} u^{y-1} du \\
	&= B(y,x)
\end{align*}

这与通过Gamma函数关系得到的结果一致：

\[ B(x,y) = B(y,x) \]

\section{收敛性验证}

对于 $ x,y > 0 $，积分在 $ t \to 0^+ $ 和 $ t \to 1^- $ 时的行为：

\begin{itemize}
	\item 当 $ t \to 0^+ $：积分表现为 $ \int t^{x-1}dt $，要求 $ x > 0 $
	\item 当 $ t \to 1^- $：积分表现为 $ \int (1-t)^{y-1}dt $，要求 $ y > 0 $
\end{itemize}

因此积分在 $ x,y > 0 $ 时收敛。

\section{特殊值计算}

\subsection{情况1：$ x = y = \frac{1}{2} $}

\begin{align*}
	B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) &= 2\int_0^{\pi/2} d\theta = \pi \\
	&= \frac{\Gamma(\frac{1}{2})^2}{\Gamma(1)} = \pi
\end{align*}

\subsection{情况2：$ y = 1 $}

\begin{align*}
	B(x,1) &= \int_0^1 t^{x-1} dt = \frac{1}{x} \\
	&= \frac{\Gamma(x)\Gamma(1)}{\Gamma(x+1)} = \frac{1}{x}
\end{align*}

\section{结论}

欧拉的推导完整展示了Beta函数的核心性质：
\begin{enumerate}
	\item 积分表示与Gamma函数的关系
	\item 对称性 $ B(x,y) = B(y,x) $
	\item 收敛域 $ x,y > 0 $
\end{enumerate}

该研究为后续特殊函数理论的发展奠定了基础。
		